La controvertida existencia de los objetos matemáticos

Publicado: noviembre 13, 2011 en Ontología
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«Roger Penrose y yo trabajamos juntos en la estructura a gran escala del espacio y del tiempo, incluyendo singularidades y agujeros negros. Coincidimos bastante en la teoría clásica de la relatividad general pero los desacuerdos empezaron a surgir cuando entramos en la gravedad cuántica. Ahora tenemos enfoques muy diferentes con respecto al mundo, físico y mental. Básicamente, él es un platónico que cree que existe un único mundo de ideas que describe una única realidad física. Yo, por el contrario, soy un positivista que cree que las teorías físicas son simplemente modelos matemáticos que nosotros construimos, y que es absurdo preguntarse si se corresponden con la realidad; sólo hay que cuestionarse si predicen o no observaciones».

Stephen Hawking. “Las objeciones de un reduccionista descarado” en Lo grande, lo pequeño y la mente humana.

La matemática es una ciencia formal. Eso significa que está vacía de contenido empírico y su esfera de estudio son las estructuras y el razonamiento lógico, según axiomas, reglas y teoremas. Probablemente la primera ciencia completa de la Antigüedad fue la geometría (una rama de la matemática),  sistematizada en los Elementos de Euclides. El método axiomático de la matemática inspiró las obras más importantes de Descartes y Spinoza y, en general, la matemática se ha considerado siempre una de las ciencias más sólidas y seguras, con los fundamentos bien anclados en la coherencia y demostrados. Galileo decía que el libro abierto de la naturaleza estaba escrito en lenguaje matemático, en triángulos, en círculos. ¿Pero en qué se sustenta esta correspondencia tan sorprendente entre las figuras matemáticas perfectas y el mundo físico imperfecto?  ¿Dónde residen los objetos matemáticos? ¿Qué insufla el fuego a las ecuaciones?

La sencilla distinción de Hawking del párrafo inicial revela a grandes rasgos las dos posturas más comunes entre los científicos y filósofos sobre la naturaleza ontológica de la matemática. Por un lado tenemos el realismo o platonismo matemático, que postula la existencia real de las entidades matemáticas, similar a la de los objetos de la física. En palabras de Gödel (“What is a Cantor’s Continuum Problem?”): «[…] los objetos matemáticos existen independientemente de nuestras construcciones y de que tengamos individualmente una intuición de ellos». Por tanto, conformarían una suerte de kósmos noetós (mundo inteligible) como elementos atemporales, atópicos y consistentes.  Hoy por hoy, muchos realistas matemáticos consideran que el denominado universo conjuntista podría ser el candidato más adecuado de mundo platónico. El universo de conjuntos encierra todos los conjuntos posibles (funciones, sistemas, estructuras y entidades matemáticas) ya sean imaginables o inimaginables.  Así pues, las verdades matemáticas serían descubiertas racionalmente de la misma manera que con herramientas empíricas descubrimos entidades físicas como exoplanetas, nuevas especies biológicas y demás. Los matemáticos explorarían, subidos en la barca de su mente, las tupidas y exuberantes junglas y los manglares del universo conjuntista. Pero el realismo matemático tiene mil caras y versiones más fuertes y débiles con mil detalles diversos, y aquí únicamente esbozamos pinceladas generales compartidas.

Por otro lado están los que consideran que la matemática representa una serie de abstracciones e idealizaciones, un constructo humano. Stuart Mill, por ejemplo, creía que las matemáticas surgían directamente de la experiencia. La idea es simple: observamos los objetos físicos, abstraemos y tenemos las ficciones operativas que serían las entidades matemáticas. S. Shapiro y M. Resnik han abogado por el estructuralismo matemático, postura que postula que los elementos matemáticos son posiciones en relación con otras posiciones de una estructura, sin que deba existir ninguna entidad matemática concreta. La reciente aproximación de Penelope Maddy a la filosofía de las matemáticas desde el naturalismo post-quineano (antes defendió posiciones realistas) es bastante interesante. También desde las ciencias cognitivas sería posible entender cómo nuestro cerebro opera matemáticamente (en módulos o determinadas redes neuronales) y, además, la ontogenia del pensamiento matemático en el individuo.

El descubrimiento de los cuasicristales demostró que los teselados de Penrose existen en la naturaleza. ¿Cuántas más elucubraciones e incluso aparentes pasatiempos formales tendrán de hecho una correspondencia física? ¿Acaso no podía ser de otra manera?

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comentarios
  1. Ciencia314 dice:

    ¿Cómo se zanja una cuestión así? ¿De una manera mas bien filosófica o empíricamente? Imaginemos que estudiamos la historia de la ciencia, y resulta que muchas ideas o entes matemáticos, han tenido luego su traducción en la realidad. Por ejemplo, los cuasicristales. Si descubrimos más ejemplos, ¿resulta que se zanja la cuestión? ¿o eso no basta? ¿no se puede probar así, sino con una ‘discusión filosófica’? ¿Tendrá respuesta?

    • Muy buena pregunta Ciencia314. Yo creo que sería algo muy difícil de zanjar, incluso aunque existan pruebas. Por ejemplo, a mí me parece que cuestiones como la existencia de los cuasicristales, de la estructura geométrica cristalina y del teorema de Pitágoras (que es verdad en todas partes y en cualquier época) revelan que las entidades matemáticas tienen algo de verdad y no simplemente a escala humana. Pero siempre me pueden objetar que quizá veamos el mundo así (matemáticamente) a causa de una adaptación darwinista, pero a lo mejor la realidad es amorfa y caótica y son nuestros procesos cognitivos los que dotan al universo de forma. Por ejemplo, es lo que se afirma en este interesante post del blog La máquina de Von Neumann: http://vonneumannmachine.wordpress.com/2012/07/22/platon-y-escher/

      Los datos empíricos pueden aportar información a favor o en contra de cualquiera de los dos supuestos. Pero me parece que, a pesar de todo, siempre habría cierta controversia si el tema es demasiado fundamental y poco concreto. Lo que nos queda es seguir defendiendo y cotejando nuestras posturas aunque no exista un consenso definitivo y puede que no vaya a existir jamás.

      Un saludo.

  2. Ciencia314 dice:

    ¡Aaahh…! ¡Quién sabe! Quizás alguien le de un giro al asunto y caiga la torre.
    Ahora la nueva ciencia, como la neurología, (campo muy interesante y que traerá más sorpresas seguro) quiere dar su versión del asunto.

    Un saludo Paulo.

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